11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Sayfa 79
11. sınıf Matematik ders kitabı (MEB Yayınları) sayfa 79 Sıra Sizde 1 ve 2. Uygulama (Dörtgenlerde Açı Özellikleri) cevapları aşağıdadır. 2. Uygulama sayfa 80–83 arasında devam etmektedir; tüm maddeleri burada cevaplanmıştır. Önce kendiniz çözmeye çalışıp sonra kontrol etmenizi öneririz.
Sayfanın başındaki 1. Uygulama 4. madde Sayfa 78‘de cevaplanmıştır.
Not: Sayfadaki 1. Örnek, kitapta çözümüyle birlikte verilmiştir.
Sıra Sizde 1
| İfade | Cevap | Gerekçe |
|---|---|---|
| 1. ifade (dışbükey dörtgende açıların eşitliği) | Y | Dışbükey dörtgenin açıları farklı olabilir; örneğin 50°, 150°, 30°, 130°. Açıların hepsi yalnızca dikdörtgen ve karede eşittir. |
| 2. ifade (içbükey dörtgende iki açının 180°’den büyük olması) | Y | İki açı 180°’den büyük olsaydı toplamları 360°’yi aşardı. Açıların toplamı 360° olduğundan yalnızca bir açı 180°’den büyük olabilir. |
| 3. ifade (iç açılar toplamının eşitliği) | D | Her iki tür dörtgen de bir köşegenle iki üçgene ayrılabilir; iç açılar toplamı her ikisinde de 360°’dir. |
| 4. ifade (dışbükey dörtgende köşegenlerin konumu) | D | Dışbükey dörtgenin iki köşegeni de iç bölgede kalır ve birbirini keser. |
2. Uygulama
1. Madde (Varsayımlar)
- Bütün dörtgenlerde iç açıların toplamı 360°’dir.
- Dışbükey dörtgenlerde dış açıların toplamı da 360°’dir.
- Yamukta paralel kenarlar arasındaki yan kenar üzerinde bulunan iki açının toplamı 180°’dir; ikizkenar yamukta taban açıları eşittir; dik yamukta iki açı 90°’dir.
- Paralelkenar ve eşkenar dörtgende karşılıklı açılar eşit, komşu açılar bütünlerdir.
- Dikdörtgen ve karede bütün açılar 90°’dir.
2. Madde (Tablo 1)
Yazılımda köşeler hareket ettirilip açılar gözlendiğinde tablo şöyle doldurulur (✓: her zaman geçerli):
| Dörtgen | İç açılar toplamı 360° | Dış açılar toplamı 360° | Tüm iç açılar eşit | Karşılıklı açılar eşit | Komşu açılar bütünler |
|---|---|---|---|---|---|
| Dörtgen (genel) | ✓ | ✓ | |||
| Yamuk | ✓ | ✓ | Yalnızca aynı yan kenar üzerindekiler | ||
| İkizkenar yamuk | ✓ | ✓ | Yalnızca aynı yan kenar üzerindekiler | ||
| Dik yamuk | ✓ | ✓ | Yalnızca aynı yan kenar üzerindekiler | ||
| Paralelkenar | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| Eşkenar dörtgen | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| Dikdörtgen | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| Kare | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
3. Madde (Genellemeler)
- Dörtgen türü ne olursa olsun iç açılar toplamı 360°’dir; dışbükey dörtgenlerde dış açılar toplamı da 360°’dir.
- Bir çift kenarın paralel olması (yamuk), o kenarlar arasındaki yan kenara komşu iki açının bütünler olmasını sağlar.
- İki çift kenarın paralel olması (paralelkenar ve onun özel hâlleri) karşılıklı açıların eşit, bütün komşu açıların bütünler olmasını sağlar.
- Bir açısı 90° olan paralelkenarın bütün açıları 90° olur (dikdörtgen, kare).
4. Madde (Önermeler)
- Bir dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360°’dir.
- Dışbükey bir dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360°’dir.
- Paralelkenarda karşılıklı açılar eşit, komşu açılar bütünlerdir.
- Yamukta aynı yan kenara komşu iki iç açı bütünlerdir.
5. Madde
Katlama sonucu E’deki ve B’deki açılar korunur: m(BEC) = m(BEC′) ve m(EBC) = m(EBC′).
- D, E, C doğrusal olduğundan m(C′EC) = 180° − 40° = 140°, buradan m(BEC) = 140° / 2 = 70°.
- m(EBC) = y dersek m(ABC) = 30° + 2y olur. Paralelkenarda komşu açılar bütünler olduğundan m(BCD) = 180° − (30° + 2y) = 150° − 2y.
- BEC üçgeninde: 70° + y + (150° − 2y) = 180° ⇒ y = 40°.
- m(ABC) = 30° + 80° = 110°. Paralelkenarda karşılıklı açılar eşit olduğundan m(ADC) = m(ABC) = 110°.
6. Madde (Tablo 2)
| Adım | İfadeler | Gerekçe |
|---|---|---|
| I | AC köşegeniyle ABC ve ACD üçgenleri elde edilir. | (Kitapta verilmiş) |
| II | m(BAC) = x1, m(DAC) = x2, m(ACB) = y1, m(ABC) = m(B), m(ADC) = m(D), m(ACD) = y2 | (Kitapta verilmiş) |
| III | ABC üçgeninde x1 + m(B) + y1 = 180° ACD üçgeninde x2 + m(D) + y2 = 180° | Üçgenin iç açıları toplamı 180°’dir. |
| IV | (x1 + x2) + m(B) + (y1 + y2) + m(D) = 360° x1 + x2 = m(A), y1 + y2 = m(C) olduğundan m(A) + m(B) + m(C) + m(D) = 360° | İki eşitlik taraf tarafa toplandı. |
7. Madde
Önerme: Dışbükey bir dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360°’dir.
- Her köşede iç açı ile dış açı doğru açı oluşturur: (iç açı) + (dış açı) = 180°.
- Dört köşe için bu eşitlikler toplanırsa: (iç açılar toplamı) + (dış açılar toplamı) = 4 · 180° = 720°.
- İç açılar toplamı 360° olduğundan dış açılar toplamı = 720° − 360° = 360°.
Bu ispat, daha önce kanıtlanmış bir önermeyi (iç açılar toplamı 360°) kullandığı için kısa ve anlaşılırdır. Aynı yöntem n kenarlı her dışbükey çokgende dış açılar toplamının 360° olduğunu göstermek için de kullanılabilir.
8. Madde (Salıncak problemi)
Salıncağın ipinin boyu değişmediğinden |AB| = |AC| = |AD| olur; ABC ve ACD ikizkenar üçgenlerdir.
a)
Evet, bulunabilir. m(BAC) = a ve m(CAD) = b olsun (a + b = 100°). İkizkenar üçgenlerde taban açıları eşit olduğundan m(ACB) = (180° − a) / 2 ve m(ACD) = (180° − b) / 2.
m(BCD) = (180° − a) / 2 + (180° − b) / 2 = 180° − (a + b) / 2 = 180° − 50° = 130°. Açılar ayrı ayrı bilinmese de toplamları bilindiği için sonuç bulunur.
b)
ABCD dörtgeninde m(A) + m(B) + m(C) + m(D) = 360° ⇒ m(B) + m(BCD) + m(D) = 260°.
İkizkenar üçgenlerden m(ABC) = m(ACB) ve m(ADC) = m(ACD) olduğundan m(B) + m(D) = m(ACB) + m(ACD) = m(BCD).
2 · m(BCD) = 260° ⇒ m(BCD) = 130°
c)
Dörtgen yaklaşımında iki ayrı üçgen için ayrı hesaplar yapmak ve bilinmeyen a, b açılarıyla uğraşmak gerekmez. İç açılar toplamının 360° olması ve ikizkenarlıktan gelen tek bir eşitlikle sonuca hızlıca ulaşılır; çözüm daha kısa ve hata yapma olasılığı daha azdır.
← Sayfa 78 Cevapları | Tüm Sayfalar | Sayfa 80 Cevapları →
Hata mı buldunuz? Bu sayfadaki bir cevapta hata fark ettiyseniz bize bildirin, hemen düzeltelim.
Bu sayfadaki çözümler Yazılı Deposu tarafından öğrencilere yardımcı olmak amacıyla bağımsız olarak hazırlanmıştır. Ders kitaplarının metin, soru ve görselleri sitemizde yayımlanmaz; tüm hakları sahiplerine aittir. Sitemiz Millî Eğitim Bakanlığı veya herhangi bir yayınevi ile bağlantılı değildir. Bir içerikle ilgili talebiniz için İletişim sayfasından bize ulaşabilirsiniz.