11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Sayfa 97

11. sınıf Matematik ders kitabı (MEB Yayınları) sayfa 97 Sıra Sizde 4 ve 6. Uygulama (Dörtgenlerin Köşegenleri Arasındaki İlişkiyi Bulma) cevapları aşağıdadır. 6. Uygulama sayfa 98–101 arasında devam etmektedir; tüm maddeleri burada cevaplanmıştır. Önce kendiniz çözmeye çalışıp sonra kontrol etmenizi öneririz.

Sıra Sizde 4

Paralelkenarda [DC] ∥ [AB] olduğundan DFE ve BFA üçgenleri benzerdir (ters açılar ve iç ters açılar eşit). E, [DC]’nin orta noktası olduğundan |DE| = |DC| / 2 = |AB| / 2. Benzerlik oranı 1/2’dir:

• |EF| / |AF| = 1/2 ⇒ x = 10 / 2 = 5 cm
• |DF| / |BF| = 1/2 ⇒ y = 2 · 4 = 8 cm

x + y = 5 + 8 = 13 cm

6. Uygulama

1. Madde (Varsayımlar)

• İkizkenar yamuk, dikdörtgen ve karede köşegenlerin uzunlukları eşittir.
• Paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve karede köşegenler birbirini ortalar.
• Eşkenar dörtgen ve karede köşegenler dik kesişir ve köşelerdeki açıları ikiye böler (açıortaydır).
• Yamuk türlerinde köşegenler birbirini paralel kenarların oranında böler.

2. Madde (Tablo 1)

3. Madde (Genelleme)

Paralelkenar ailesinin bütün üyelerinde köşegenler birbirini ortalar. Bu aileye “kenarlar eşit” koşulu eklenince (eşkenar dörtgen) köşegenler dik ve açıortay olur; “açılar dik” koşulu eklenince (dikdörtgen) köşegenler eşit olur. Kare iki koşulu da taşıdığı için bütün özelliklere sahiptir. Yamuklarda köşegenler birbirini ortalamaz, yalnızca paralel tabanların oranında böler; ikizkenar yamukta ise ayrıca eşittir.

4. Madde (Önermeler)

• Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar.
• Dikdörtgen ve ikizkenar yamuğun köşegenleri eşit uzunluktadır.
• Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik ortalar ve köşelerdeki açıların açıortaylarıdır.
• Köşegenleri dik kesişen dörtgende karşılıklı kenarların karelerinin toplamı eşittir.

5. Madde (Pano problemi)

Karenin köşegenleri birbirini dik ortalar ve 45°’lik açılar oluşturur. Köşegenlerin kesişim noktası O olsun.

• m(BCO) = 45° ve m(BCE) = 15° olduğundan m(ECO) = 30°.
• [CO] ⊥ [BD] olduğundan COE dik üçgeninde |CO| = |CE| · cos 30° = 60 · (√3/2) = 30√3 cm.
• |AC| = 2 · 30√3 = 60√3 cm. Karenin kenarı a = |AC| / √2 = 60√3 / √2 = 30√6 cm.

İpin uzunluğu (karenin çevresi) = 4 · 30√6 = 120√6 cm (yaklaşık 293,9 cm).

6. Madde

Yazılımda adımlar uygulandığında 10 ve 11. adımlarda ekrana gelen a² + b² ve c² + d² değerlerinin, köşeler nasıl hareket ettirilirse ettirilsin her zaman birbirine eşit kaldığı görülür. Bu, önermenin her durumda geçerli olduğunu gösterir. Cebirsel gerekçesi şöyledir (E köşegenlerin kesişim noktası):

• Dik üçgenlerde Pisagor bağıntısından: a² = |AE|² + |EC|², b² = |BE|² + |ED|², c² = |CE|² + |EB|², d² = |AE|² + |ED|².
• a² + b² = |AE|² + |EC|² + |BE|² + |ED|² ve c² + d² = |CE|² + |EB|² + |AE|² + |ED|². İki toplam aynı terimlerden oluştuğu için a² + b² = c² + d²’dir.

7. Madde (Başka bir önermenin ispatı)

Önerme: Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar.

• ABCD paralelkenarında köşegenler E’de kesişsin. [AB] ∥ [DC] olduğundan m(EAB) = m(ECD) ve m(EBA) = m(EDC) (iç ters açılar).
• Paralelkenarda |AB| = |DC|.
• Açı-Kenar-Açı eşliğinden ABE ≅ CDE ⇒ |AE| = |EC| ve |BE| = |ED|.

Eşlik kullanılarak yapılan bu ispat kısa ve geneldir; paralelkenarın özel hâlleri olan eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve karede de aynı sonucu doğrudan verir.

8. Madde (Sondaj gemisi)

E noktası iskele seviyesindedir; D, draftın uç noktasıdır. İskele denizden 4 m yüksekte, draft 16 m olduğundan |ED| = 4 + 16 = 20 m. [AB] ⊥ [CD] olduğundan ACBD dörtgeninin köşegenleri diktir.

a) Pisagor bağıntısıyla

• AED dik üçgeninde: |AE|² = (20√10)² − 20² = 4000 − 400 = 3600 ⇒ |AE| = 60 m.
• AEC dik üçgeninde: |EC|² = 75² − 60² = 5625 − 3600 = 2025 ⇒ |EC| = 45 m.

Kule iskeleden yükseldiği için |EF| = 64 m alınırsa |CF| = 64 − 45 = 19 m olur. Bu yolda iki ayrı dik üçgende art arda hesap yapmak gerekir.

b) 6. maddedeki önermeyle

Köşegenleri dik olan ACBD dörtgeninde karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşittir: |AC|² + |BD|² = |CB|² + |DA|².

75² + |BD|² = (5√145)² + (20√10)² ⇒ 5625 + |BD|² = 3625 + 4000 ⇒ |BD|² = 2000.

BED dik üçgeninde |BE|² = 2000 − 400 = 1600 ⇒ |BE| = 40 m; BEC dik üçgeninde |EC|² = 3625 − 1600 = 2025 ⇒ |EC| = 45 m.

|CF| = 64 − 45 = 19 m

c)

Önerme, dört kenar arasındaki ilişkiyi tek bir eşitlikte topladığı için bilinmeyen köşegen parçası doğrudan bulunur ve verilen bütün uzunluklar birlikte kullanılır. Ayrıca iki yöntemin aynı sonucu (|EC| = 45 m) vermesi, çözümün doğruluğunu kontrol etmeyi de sağlar.

← Sayfa 95 Cevapları | Tüm Sayfalar | Sayfa 98 Cevapları →

Hata mı buldunuz? Bu sayfadaki bir cevapta hata fark ettiyseniz bize bildirin, hemen düzeltelim.

Bu sayfadaki çözümler Yazılı Deposu tarafından öğrencilere yardımcı olmak amacıyla bağımsız olarak hazırlanmıştır. Ders kitaplarının metin, soru ve görselleri sitemizde yayımlanmaz; tüm hakları sahiplerine aittir. Sitemiz Millî Eğitim Bakanlığı veya herhangi bir yayınevi ile bağlantılı değildir. Bir içerikle ilgili talebiniz için İletişim sayfasından bize ulaşabilirsiniz.