11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Sayfa 87
11. sınıf Matematik ders kitabı (MEB Yayınları) sayfa 87 4. Uygulama (Dörtgenlerde Açıortay Yardımıyla Elde Edilen Açı Özellikleri-2) cevapları aşağıdadır. Uygulamanın 1–7. maddeleri (sayfa 87–89) burada, 8. maddesi ise Sayfa 90‘da cevaplanmıştır. Önce kendiniz çözmeye çalışıp sonra kontrol etmenizi öneririz.
Sayfanın başındaki 3. Uygulama 8. madde Sayfa 84‘te cevaplanmıştır.
4. Uygulama
1. Madde (Varsayım)
Karşılıklı B ve D köşelerindeki iç açıların açıortayları arasındaki dar açı (DEF), diğer iki karşı açı olan BAD ile BCD arasındaki farkın yarısına eşittir. Örnekte (137° − 57°) / 2 = 40° olduğu görülmektedir.
2. Madde (Tablo 1)
| m(BAD) | m(BCD) | m(DEF) |
|---|---|---|
| 137° | 57° | 40° |
| 120° | 60° | 30° |
| 90° | 110° | 10° |
3. Madde (Genelleme)
Her satırda m(DEF) = |m(BAD) − m(BCD)| / 2 olur. A ve C açıları eşit olduğunda (ör. paralelkenarda) bu açı 0° olur, yani açıortaylar birbirine paraleldir.
4. Madde (Önerme)
Bir ABCD dörtgeninde karşılıklı B ve D açılarının açıortayları arasındaki dar açının ölçüsü |m(A) − m(C)| / 2’dir.
5. Madde
E, karşılıklı B ve D açılarının açıortaylarının kesişim noktasıdır. 4. maddedeki önermeye göre bu iki açıortay arasındaki dar açı |m(A) − m(C)| / 2’dir. BED açısı 170° olduğundan açıortaylar arasındaki dar açı 180° − 170° = 10°’dir:
|m(A) − m(C)| / 2 = 10° ⇒ |(3x − 20°) − (x + 16°)| = 20° ⇒ |2x − 36| = 20
2x − 36 = 20 ⇒ x = 28 (m(A) = 64°, m(C) = 44°)
2x − 36 = −20 ⇒ x = 8 (m(A) = 4°, m(C) = 24°)
İki durumda da açı ölçüleri pozitif olduğundan x’in alabileceği tam sayı değerleri 28 ve 8’dir. Toplamları 28 + 8 = 36 olur.
(Şekilde A açısı C açısından büyük çizildiği için çizime uyan değer x = 28’dir; mutlak değerden gelen x = 8 değeri ise A açısının C açısından küçük olduğu duruma karşılık gelir.)
6. Madde (Tablo 2)
| İşlem | İfadeler | Gerekçe |
|---|---|---|
| I | m(BEG) + m(B)/2 = m(DGC) | (Kitapta verilmiş) |
| II | m(DGC) + m(C) + m(D)/2 = 180° | DGC üçgeninin iç açıları toplamı |
| III | m(BEG) + m(B)/2 + m(C) + m(D)/2 = 180° | 1. adımdaki DGC açısı yerine yazıldı. |
| IV | m(A)/2 + m(B)/2 + m(C)/2 + m(D)/2 = 180° | Dörtgenin iç açıları toplamı 360°, 2’ye bölündü. |
| V | m(BEG) + m(C) = m(A)/2 + m(C)/2 ⇒ m(BEG) = [m(A) − m(C)] / 2 | 3 ve 4. adımlar eşitlendi. (Şekilde m(A) > m(C) olduğundan; genel durumda mutlak değer alınır.) |
7. Madde (Başka bir önermenin ispatı)
Önerme: Bir paralelkenarda karşılıklı iki açının açıortayları birbirine paraleldir.
- Paralelkenarda karşılıklı açılar eşittir: m(A) = m(C).
- 6. maddede ispatlanan önermeye göre B ve D açıortayları arasındaki açı |m(A) − m(C)| / 2 = 0°’dir.
- Aralarındaki açı 0° olan iki doğru kesişmez; bu nedenle açıortaylar paraleldir (ya da çakışıktır; eşkenar dörtgen ve karede açıortaylar aynı köşegen üzerindedir).
Genel bir önermenin özel bir dörtgene uygulanmasıyla elde edilen bu ispat çok kısadır; önceden ispatlanmış önermeleri kullanmanın işi kolaylaştırdığını gösterir.
← Sayfa 86 Cevapları | Tüm Sayfalar | Sayfa 88 Cevapları →
Hata mı buldunuz? Bu sayfadaki bir cevapta hata fark ettiyseniz bize bildirin, hemen düzeltelim.
Bu sayfadaki çözümler Yazılı Deposu tarafından öğrencilere yardımcı olmak amacıyla bağımsız olarak hazırlanmıştır. Ders kitaplarının metin, soru ve görselleri sitemizde yayımlanmaz; tüm hakları sahiplerine aittir. Sitemiz Millî Eğitim Bakanlığı veya herhangi bir yayınevi ile bağlantılı değildir. Bir içerikle ilgili talebiniz için İletişim sayfasından bize ulaşabilirsiniz.