11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Sayfa 107
11. sınıf Matematik ders kitabı (MEB Yayınları) sayfa 107 8. Uygulama (Dörtgende Alan Özellikleri-1) cevapları aşağıdadır. Uygulama sayfa 108 ve 109’da devam etmektedir; tüm maddeleri burada cevaplanmıştır. Önce kendiniz çözmeye çalışıp sonra kontrol etmenizi öneririz.
8. Uygulama
1. Madde (Varsayım)
Dörtgen, köşegenlerinden biriyle iki üçgene ayrılabilir. Her üçgenin alanı köşegen uzunluğu ve köşegenler arasındaki açının sinüsü ile ifade edilebileceğinden dörtgenin alanının da köşegenlerin çarpımı ve aradaki açının sinüsüne bağlı olacağı tahmin edilir.
2. Madde
- I. B’den AC’ye dikme [BH], D’den AC’ye dikme [DK] çizilir.
- II. BEH dik üçgeninde |BH| = |BE| · sin α.
- III. DEK dik üçgeninde (E’deki ters açı da α’dır) |DK| = |DE| · sin α.
- IV. A(ABC) = ½ · |AC| · |BH| = ½ · |AC| · |BE| · sin α
- V. A(ADC) = ½ · |AC| · |DK| = ½ · |AC| · |DE| · sin α
- VI. A(ABCD) = ½ · |AC| · (|BE| + |DE|) · sin α = ½ · |AC| · |BD| · sin α
3. Madde (Tablo)
| |AC| | |BE| | |DE| | α | A(ABC) | A(ADC) | A(ABCD) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 12 cm | 4 cm | 6 cm | 30° | 12 cm² | 18 cm² | 30 cm² |
| 20 cm | 10 cm | 8 cm | 45° | 50√2 cm² | 40√2 cm² | 90√2 cm² |
| 15 cm | 6 cm | 10 cm | 90° | 45 cm² | 75 cm² | 120 cm² |
| 13 cm | 8 cm | 6 cm | 60° | 26√3 cm² | 39√3/2 cm² | 91√3/2 cm² |
4. ve 5. Madde (Genelleme ve önerme)
Her satırda dörtgenin alanı, köşegen uzunluklarının çarpımının yarısı ile aradaki açının sinüsünün çarpımına eşittir. Bu, varsayımımızı doğrular.
Önerme: Köşegen uzunlukları e ve f, köşegenler arasındaki açı α olan bir dörtgenin alanı A = ½ · e · f · sin α’dır. α = 90° olduğunda sin α = 1 olacağından alan ½ · e · f olur.
6. Madde (Çatı problemi)
ABFE dörtgeninde |AE| = |BF| ve EF ∥ AB olduğundan ABFE bir ikizkenar yamuktur; köşegenleri eşittir: |AF| = |BE| = 4 m. Simetriden [BE] de [AB] ile 22,5° açı yapar.
Köşegenlerin kesişim noktası P olsun. APB üçgeninde m(APB) = 180° − 22,5° − 22,5° = 135°; köşegenler arasındaki açının sinüsü sin 135° = sin 45° = √2/2.
A(ABFE) = ½ · 4 · 4 · (√2/2) = 4√2 m² (yaklaşık 5,66 m²)
7. Madde (İspat adımları)
- I. A(AKB) = ½ · |AK| · |KB|
- II. A(BKC) = ½ · |BK| · |KC|
- III. A(CKD) = ½ · |CK| · |KD|
- IV. A(DKA) = ½ · |DK| · |KA|
- V. Toplam = ½ · [|AK| · (|KB| + |KD|) + |KC| · (|KB| + |KD|)] = ½ · (|AK| + |KC|) · (|KB| + |KD|) = ½ · |AC| · |BD|
8. Madde (Başka bir önermenin ispatı)
Önerme: Komşu kenarları a ve b, aralarındaki açı α olan paralelkenarın alanı a · b · sin α’dır.
- [AC] köşegeni paralelkenarı iki eş üçgene ayırır (ABC ≅ CDA).
- ABD üçgeninde D’den [AB]’ye inen yükseklik |AD| · sin α = b · sin α olduğundan A(ABD) = ½ · a · b · sin α.
- Paralelkenar iki eş üçgenden oluştuğu için A(ABCD) = 2 · ½ · a · b · sin α = a · b · sin α.
İspat, üçgende alanın iki kenar ve aradaki açının sinüsüyle bulunmasına dayanır; yüksekliği bilinmeyen paralelkenarlarda bile alanı hesaplamayı sağladığından kullanışlıdır.
9. Madde (Bahçe)
Köşegenleri dik olan dörtgenin alanı köşegenlerin çarpımının yarısıdır: ½ · e · f = 63 ⇒ e · f = 126. Ayrıca e + f = 23.
Toplamı 23, çarpımı 126 olan tam sayılar 14 ve 9’dur (14 · 9 = 126). Çitlerin uzunlukları farkı 14 − 9 = 5 m
← Sayfa 106 Cevapları | Tüm Sayfalar | Sayfa 108 Cevapları →
Hata mı buldunuz? Bu sayfadaki bir cevapta hata fark ettiyseniz bize bildirin, hemen düzeltelim.
Bu sayfadaki çözümler Yazılı Deposu tarafından öğrencilere yardımcı olmak amacıyla bağımsız olarak hazırlanmıştır. Ders kitaplarının metin, soru ve görselleri sitemizde yayımlanmaz; tüm hakları sahiplerine aittir. Sitemiz Millî Eğitim Bakanlığı veya herhangi bir yayınevi ile bağlantılı değildir. Bir içerikle ilgili talebiniz için İletişim sayfasından bize ulaşabilirsiniz.