11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Sayfa 102

11. sınıf Matematik ders kitabı (MEB Yayınları) sayfa 102 Sıra Sizde 5 ve 7. Uygulama (Dörtgenlerde Simetri) cevapları aşağıdadır. 7. Uygulama sayfa 103–105 arasında devam etmektedir; tüm maddeleri burada cevaplanmıştır. Önce kendiniz çözmeye çalışıp sonra kontrol etmenizi öneririz.

Not: Sayfanın üst kısmı 5. Örneğin kitapta verilen çözümüdür.

Sıra Sizde 5

Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik ortalar. Köşegenlerin kesişim noktası O olsun; [DO] ve [BO], [AC]’ye diktir ve |DO| = |BO|.

• DEO dik üçgeninde m(DEO) = 30° olduğundan 30°’nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır: |DO| = 12 / 2 = 6 cm.
• |BO| = |DO| = 6 cm.
• BFO dik üçgeninde m(BFO) = 60° olduğundan |BO| = |FB| · sin 60° ⇒ 6 = |FB| · (√3/2) ⇒ |FB| = 12/√3.

|FB| = 4√3 cm

7. Uygulama

1. Madde (Varsayımlar)

• Genel dörtgenin, yamuğun ve paralelkenarın simetri ekseni yoktur.
• İkizkenar yamuğun bir simetri ekseni vardır: paralel kenarların orta noktalarından geçen doğru.
• Eşkenar dörtgenin iki simetri ekseni vardır: köşegenleri.
• Dikdörtgenin iki simetri ekseni vardır: karşılıklı kenarların orta noktalarından geçen doğrular.
• Karenin dört simetri ekseni vardır: iki köşegeni ve karşılıklı kenarların orta noktalarından geçen iki doğru.

2. Madde

Zeminde A noktası başlangıç alınırsa B 8 birim sağda; C ve D, [AB]’nin orta dikmesi üzerinde sırasıyla 5 ve 4 birim yukarıda; K ve L, A’nın 4 ve 2 birim yukarısında; M ve N, B’nin 4 ve 2 birim yukarısındadır.

• I. ABC ikizkenar üçgendir (|CA| = |CB|). Simetriği ile birlikte ACBC′ dörtgeni oluşur; dört kenarı eşittir (√41 birim), köşegenleri 8 ve 10 birimdir. Şekil bir eşkenar dörtgendir.
• II. ABD üçgeninde D, [AB]’den 4 birim uzaktadır. ADBD′ dörtgeninin köşegenleri eşit (8 birim), dik ve birbirini ortalar. Şekil bir karedir.
• III. ABNL 8 × 2 boyutlarında bir dikdörtgendir; simetriğiyle birlikte 8 × 4 boyutlarında bir dikdörtgen oluşur.
• IV. ABMK 8 × 4 boyutlarında bir dikdörtgendir; simetriğiyle birlikte 8 × 8 boyutlarında bir kare oluşur.
• V. ABNK bir dik yamuktur (|AK| = 4, |BN| = 2). Simetriğiyle birlikte paralel kenarları 8 ve 4 birim, yan kenarları eşit olan bir ikizkenar yamuk oluşur.

3. Madde (Tablo)

Genelleme: Kenarlar eşitleştikçe köşegenler, açılar dikleştikçe kenar orta noktalarından geçen doğrular simetri ekseni olur; iki koşulu birlikte taşıyan karenin dört ekseni vardır. 2. maddede de bir üçgen ya da dörtgenin simetriğiyle birleştirilmesiyle simetri ekseni olan özel dörtgenler elde edilmiştir.

4. Madde (Önermeler)

• Eşkenar dörtgenin köşegenleri simetri eksenidir.
• Dikdörtgende karşılıklı kenarların orta noktalarından geçen doğrular simetri eksenidir.
• İkizkenar yamuğun paralel kenarlarının orta noktalarından geçen doğru simetri eksenidir.
• Karenin dört simetri ekseni vardır.

5. Madde (Badminton)

Köşegenleri simetri ekseni olan dörtgen eşkenar dörtgendir (ya da karedir); köşegenleri birbirini dik ortalar. Yarı köşegenler 6 m ve 8 m olduğundan bir kenar √(6² + 8²) = 10 m’dir.

Çevre = 4 · 10 = 40 m

6. Madde

Yazılımda E ve F, [AB] ile [CD]’nin orta noktalarıdır. EF doğrusuna göre [AD] yansıtıldığında A′ noktası B ile, D′ noktası C ile çakışır. Yani EF doğrusu, karenin bir yarısını diğer yarısının üzerine tam olarak taşır; bu da EF’nin simetri ekseni olduğunu gösterir. Gerekçesi: EF, [AB] ve [CD]’ye diktir ve bu kenarları ortalar; bu nedenle A ile B, D ile C bu doğruya göre birbirinin simetriğidir. Aynı işlem diğer kenar çiftinin orta noktalarıyla yapılınca ikinci eksen bulunur.

7. Madde (Başka bir önermenin ispatı)

Önerme: Eşkenar dörtgenin köşegeni simetri eksenidir.

• ABCD eşkenar dörtgeninde köşegenler O’da kesişir ve birbirini dik ortalar: [BD] ⊥ [AC], |BO| = |OD|.
• Bu nedenle B ve D, AC doğrusuna göre birbirinin simetriğidir; A ve C ise doğru üzerinde olduğu için yerinde kalır.
• AC’ye göre yansımada ABCD dörtgeni kendisine (ADCB) dönüşür; AC simetri eksenidir. Aynı akıl yürütme BD için de geçerlidir.

Köşegenlerin dik ortalama özelliğine dayanan bu ispat, simetriyi tek tek uzunluk ölçmeden göstermesi bakımından kullanışlıdır.

8. Madde (Galata Köprüsü)

Kitapta her açılır kanadın 40 m olduğu belirtilmiştir: |BC| = |ED| = 40 m. Kanatlar kapandığında uçları birleştiğinden |BE| = 40 + 40 = 80 m. Kanatlar simetrik hareket ettiğinden BCDE bir ikizkenar yamuktur ([CD] ∥ [BE]).

a)

C ve D’den [BE]’ye dikmeler indirilirse ortada |CD| = 32 m, iki yanda ise (80 − 32) / 2 = 24 m’lik parçalar kalır. Kanadın oluşturduğu dik üçgende yükseklik: h = √(40² − 24²) = √(1600 − 576) = √1024 = 32 m

b)

Kanat yol ile 120° yaptığında [BE] ile 180° − 120° = 60° yapar. Kanadın yatay izdüşümü 40 · cos 60° = 20 m’dir.

|CD| = 80 − 2 · 20 = 40 m

← Sayfa 101 Cevapları | Tüm Sayfalar | Sayfa 103 Cevapları →

Hata mı buldunuz? Bu sayfadaki bir cevapta hata fark ettiyseniz bize bildirin, hemen düzeltelim.

Bu sayfadaki çözümler Yazılı Deposu tarafından öğrencilere yardımcı olmak amacıyla bağımsız olarak hazırlanmıştır. Ders kitaplarının metin, soru ve görselleri sitemizde yayımlanmaz; tüm hakları sahiplerine aittir. Sitemiz Millî Eğitim Bakanlığı veya herhangi bir yayınevi ile bağlantılı değildir. Bir içerikle ilgili talebiniz için İletişim sayfasından bize ulaşabilirsiniz.