11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Sayfa 84
11. sınıf Matematik ders kitabı (MEB Yayınları) sayfa 84 Sıra Sizde 2 ve 3. Uygulama (Dörtgenlerde Açıortay Yardımıyla Elde Edilen Açı Özellikleri-1) cevapları aşağıdadır. 3. Uygulama sayfa 85–87 arasında devam etmektedir; tüm maddeleri burada cevaplanmıştır. Önce kendiniz çözmeye çalışıp sonra kontrol etmenizi öneririz.
Sıra Sizde 2
E, D, C doğrusal olduğundan [DE], D köşesindeki dış açıyı oluşturur: m(ADC) = 180° − 30° = 150°.
F, B, C doğrusal olduğundan m(ABC) = 180° − 110° = 70°.
Dörtgenin iç açıları toplamı 360° olduğundan: m(BCD) = 360° − (80° + 70° + 150°) = 60°.
FCE açısı, C köşesindeki iç açının ta kendisidir: m(FCE) = 60°
3. Uygulama
1. Madde (Varsayım)
B ve C köşelerindeki iç açıların açıortaylarının oluşturduğu BEC açısı, diğer iki açı olan BAD ve ADC açılarının ölçüleri toplamının yarısına eşittir. Örnekte (92° + 112°) / 2 = 102° olduğu görülmektedir.
2. Madde (Tablo 1)
Köşeler hareket ettirilerek elde edilebilecek örnek değerler:
| m(BAD) | m(ADC) | m(BEC) |
|---|---|---|
| 92° | 112° | 102° |
| 80° | 100° | 90° |
| 70° | 130° | 100° |
3. Madde (Genelleme)
Her satırda m(BEC) = [m(BAD) + m(ADC)] / 2 olduğu görülür. Dörtgenin şekli değişse de bu ilişki bozulmaz. Özel olarak m(BAD) + m(ADC) = 180° ise (ör. [AB] ∥ [DC] olan yamuk ve paralelkenarda) açıortaylar dik kesişir.
4. Madde (Önerme)
Herhangi bir ABCD dörtgeninde B ve C köşelerindeki iç açıların açıortayları E noktasında kesişirse m(BEC) = [m(A) + m(D)] / 2 olur. Yani komşu iki iç açının açıortayları arasındaki açı, diğer iki iç açının toplamının yarısıdır.
5. Madde
A, E, F doğrusal olduğundan E, A ve B köşelerindeki açıortayların kesişim noktasıdır. BEF açısı ABE üçgeninin E’deki dış açısıdır, bu nedenle m(AEB) = 180° − 80° = 100°.
Önermeye göre m(AEB) = [m(C) + m(D)] / 2 ⇒ 100° = (110° + m(D)) / 2 ⇒ m(D) = 90°.
m(ADC) = 90°
6. Madde (Tablo 2)
| Adım | İfadeler | Gerekçe |
|---|---|---|
| I | m(E) + m(A)/2 + m(B)/2 = 180° | (Kitapta verilmiş) |
| II | m(A) + m(B) + m(C) + m(D) = 360° | Dörtgenin iç açıları toplamı |
| III | m(A)/2 + m(B)/2 + m(C)/2 + m(D)/2 = 180° | Eşitlik 2’ye bölündü. |
| IV | m(E) − m(C)/2 − m(D)/2 = 0 | 1. eşitlikten 3. eşitlik çıkarıldı. |
| V | m(AEB) = [m(C) + m(D)] / 2 | E açısı yalnız bırakıldı. |
7. Madde (Başka bir önermenin ispatı)
Önerme: Dışbükey bir ABCD dörtgeninde B ve C köşelerindeki dış açıların açıortayları P noktasında kesişirse m(BPC) = [m(B) + m(C)] / 2 olur.
- B’deki dış açı 180° − m(B), yarısı 90° − m(B)/2; C’deki dış açının yarısı 90° − m(C)/2’dir. (Dış açılar tanımı)
- BPC üçgeninde: m(P) + 90° − m(B)/2 + 90° − m(C)/2 = 180° (Üçgenin iç açıları toplamı)
- Düzenlenirse m(BPC) = [m(B) + m(C)] / 2 bulunur.
Bu ispat da üçgenin iç açıları toplamı ile açıortayın açıyı iki eş parçaya ayırmasını kullanır. Kısa olduğu ve her dışbükey dörtgende geçerli olduğu için kullanışlıdır.
8. Madde (Kâğıt katlama)
[AB] boyunca katlamada E noktası K’ye gider; katlama açıları korur, bu nedenle m(ABK) = m(ABE) = m(B) ve m(KBC) = 2 · m(B) olur. Benzer şekilde [AC] boyunca katlamada m(MCB) = 2 · m(C) olur.
BKMC dörtgeninde: 2m(B) + 80° + 110° + 2m(C) = 360° ⇒ m(B) + m(C) = 85°.
ABC üçgeninde m(BAC) = 180° − 85° = 95°
← Sayfa 83 Cevapları | Tüm Sayfalar | Sayfa 85 Cevapları →
Hata mı buldunuz? Bu sayfadaki bir cevapta hata fark ettiyseniz bize bildirin, hemen düzeltelim.
Bu sayfadaki çözümler Yazılı Deposu tarafından öğrencilere yardımcı olmak amacıyla bağımsız olarak hazırlanmıştır. Ders kitaplarının metin, soru ve görselleri sitemizde yayımlanmaz; tüm hakları sahiplerine aittir. Sitemiz Millî Eğitim Bakanlığı veya herhangi bir yayınevi ile bağlantılı değildir. Bir içerikle ilgili talebiniz için İletişim sayfasından bize ulaşabilirsiniz.